Бесконечные произведения

Напомним основные понятия, относящиеся к бесконечным произведениям.

Определение. Если

есть некоторая заданная последовательность чисел, то составленный из них символ

называют бесконечным произведением.

Станем последовательно перемножать числа (1), составляя частичные произведения

Эту последовательность частичных произведений

мы всегда будем сопоставлять символу (2).

Предел P частичного произведения

при

(конечный или бесконечный)

называют значением

произведения (2) и пишут:

Если бесконечное произведение имеет конечное значение P и притом отличное от 0, то само произведение называют сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Достаточно одному из сомножителей произведения быть нулем, чтобы и значение всего произведения также было равно нулю. В дальнейшем этот случай будет исключен из рассмотрения, так что для нас всегда

4.1. Примеры некоторых замечательных бесконечных произведений

Пример 1.

Так как частичное произведение

то бесконечное произведение сходится, и его значением будет

Проверим этот факт, для чего составим программу вычисления произведения:

Составим процедуру, которая с заданной точностью вычисляет это произведение и включим ее в программу. Зачем нам нужна процедура, если можно сразу составить программу?

Ответ понятен. Нам придется составлять еще много программ, в которых не только вычисляются произведения, но и выполняется ряд других задач. Изменив только одну процедуру, мы сможем использовать новое произведение для поставленных в программе задач.

Процедура

Procedure

Multiplication(eps : real; var Mult : real);

var

n : longint;

Mult1 : real;

begin

n := 2; Mult1 := 1;

repeat

Mult1 := Mult1*(1 - 1/sqr(n));

n := n + 1;

Mult := Mult1*(1 - 1/sqr(n))

until abs(Mult - Mult1) < eps

end;

Программа

Program Multiply1;

Содержание Назад Вперед