Глава Числовые последовательности
Начнем с определения последовательности. Определений числовой последовательности дается много, причем самых разных и достаточно понятных, но, по моим соображениям, самое лучшее с точки зрения и математической строгости и доступности дается в книге: "Курс дифференциального и интегрального исчисления", т. 1 Г.М. Фихтенгольца. Я привожу его с незначительными изменениями.
Представим себе натуральный ряд:
1, 2, 3, ..., n, ..., n', ...,
в котором числа расположены в порядке возрастания, так что большее число n' следует за меньшим числом n (или меньшее n предшествует большему числу n'). Если теперь заменить в этом ряде, по какому-нибудь закону каждое натуральное число n некоторым вещественным числом xn , то получится числовая последовательность:
x1, x2, x3, ..., xn, ..., xn', ...,
члены или элементы которой xn занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров. При n'>n, член xn' следует за членом xn (xn предшествует xn' ), независимо от того, будет ли само число xn' больше, меньше или даже равно числу xn.
В школьном курсе математики вы уже знакомились с последовательностями вида
или вида
В связи с определением длины окружности обычно рассматривается переменный периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон; таким образом, получается следующая последовательность:
Упомянем еще о десятичном приближении (скажем, по недостатку) к
Иногда последовательность задается тем, что указывается непосредственно
выражение для xn; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно,
В других случаях нам может быть неизвестно выражение для общего члена xn последовательности.