Паскаль. Основы программирования


           

с осью ox. Конечная задача


4-й случай: f'(x) < 0 - функция убывает, f''(x) < 0 - вогнутость вниз.

1.1. Метод хорд (правило пропорциональных частей)

Пусть c - корень уравнения f(x) = 0 на промежутке [a, b], тогда c - абсцисса точки пересечения кривой с осью ox. Конечная задача - найти эту точку или как можно близкое значение абсциссы к этой точки.

Рассмотрим случаи 1-й и 3-й, когда хорда находится слева от кривой и пересекает ось x между точками a и c (см. рис. 45).



Рис. 45

Заменим кривую AcB хордой AB. Мы сможем написать уравнение этой хорды, а значит найти ее точку пересечения с осью x.

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки такой:



Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

  отсюда


Пусть x1

- точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то



x1 может считаться приближенным значением корня. Для более точного его определения рассмотрим промежуток [x1, b]. И на этом промежутке заменим кривую хордой A1B и найдем новое приближение к корню - x2:

 и так далее.

Для n + 1 - го приближения получим:



Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго и построить возрастающую последовательность приближенных значений корня:

a < x1

< x2 < ... < xn < xn+1 < ... < c.

В математическом анализе доказывается, что переменная xn с ростом n стремится к c, т.е. c является пределом этой последовательности.

Для случаев 2-го и 3-го, когда хорда располагается справа от кривой (см. рис. 46), и пересекает ось ox между точками с и b, значения приближенных значений корней будут следующими:



Рис. 46





....................................,

            
       (1)

В результате получим убывающую последовательность, которая также сходится к c:

b > x1

> x2 > ... > xn > xn+1 > ... > c

Во всех случаях можно найти корень с любой степенью точности.

Как оценивается точность приближенного значения xn?

По формуле Лагранжа (формуле конечных приращений) для разности
 получим:
, где
 или
 


Содержание  Назад  Вперед