Паскаль. Основы программирования


           

которое можно определить заранее, то


Так как f(c) = 0, то получим: 


Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:            
 или 
 

где eps - заданная точность вычисления. Пользуясь рекуррентной формулой (1) и формулой  для оценки точности вычисления, нетрудно составить процедуру уточнения корня методом хорд:

{ Процедура уточнения корня методом хорд }

  Procedure chord(a, b, eps, min : real; var

x : real);

     var

        x1 : real;

     begin

        x1 := a;

       repeat

           x := x1 - ((b - x1)*fx(x1))/(fx(b) - fx(x1));

           x1 := x

       until abs(fx(x))/min < eps

     end;

Для оценки точности вычисления корня необходимо вычислять наименьшее значение производной f'(x) на промежутке [a, b], поэтому возникает необходимость в нахождении значения производной в точке и здесь мы приходим к задаче численного дифференцирования.

1.2. Вычисление производных (численное дифференцирование)

При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один из способов найти производную
- это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от
 - точке, в которой мы хотим найти производную.



Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.

По значениям f' можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):





Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:



Возникают естественные вопросы, откуда происходят эти формулы и как оценивать точность вычисления производных по этим формулам?

Формулы являются результатом дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и других. Сущность которых состоит в том, что заданная функция f(x) представляется в виде многочлена, который значительно проще дифференцировать, чем какие-либо другие функции, особенно трансцендентные или представляющие собой сложные выражения. Как получаются такие многочлены, мы узнаем позже - этому вопросу будет посвящена полностью глава, а сейчас ограничимся лишь результатами, которые нам необходимы в этой главе.


Содержание  Назад  Вперед