Паскаль. Основы программирования


           

Классические методы нахождения изолированного корня


На этом занятии мы рассмотрим задачу нахождения корней уравнения

                                                  f(x) = 0.                                              (1)

"Изолированным" мы будем называть корень c уравнения (1), если найден, содержащий его промежуток [a, b]: a < c < b, на котором других корней нет.

Для решения задачи уточнения корня, потребуем, чтобы функция удовлетворяла следующим условиям:

1) f(x), f'(x) и f''(x) непрерывны на промежутке [a, b]; 2) значения функции на концах промежутка [a, b] имеют разные знаки:

 т. е. функция заведомо имеет корень на этом промежутке;

3) обе производные f'(x) и f''(x) сохраняют каждая определенные знаки на всем промежутке [a, b], это значит, что функция строго монотонна (возрастает или убывает) на этом промежутке.  Требование сохранение знака второй производной f''(x) геометрически означает, что график функции вогнутостью обращен всегда в одну сторону и не имеет перегибов.

Столь жесткие требования к поведению функции на промежутке казалось бы сильно сужают круг рассматриваемых функций, но это не так.

Для алгебраических функций всегда можно найти промежуток (если вообще вещественные корни алгебраического уравнения существуют), на котором все три перечисленных условия выполняются.

Что касается трансцендентных уравнений, то на практике в большинстве случаев перечисленные условия выполняются и для них.

Во всяком случае, круг уравнений достаточно широк, чтобы заняться рассмотрением ниже приводимых приемов решения, тем более что эти способы являются классическими и полезны будут даже из соображений общего развития читателей.

Рис. 44

На рисунке 44 изображены четыре возможные случая, отвечающие различным комбинациям знаков f'(x) и f''(x).

1-й случай, когда f'(x)>0 - функция возрастает на промежутке, f''(x) > 0 - график вогнутостью направлен вверх.

2-й случай: f'(x)<0 - функция убывает, f''(x)>0 - вогнутость вверх.

3-й случай: f'(x) > 0 - функция возрастает, f''(x) < 0 - вогнутость направлена вниз.



Содержание  Назад  Вперед