что точность вычисления интеграла по
Известно, что точность вычисления интеграла по формуле прямоугольников оценивается по дополнительному члену, который выражается формулой:
значит оценивать точность вычисления можно по модулю этого остаточного или дополнительного члена, |Rn|.
Вторую производную вычислить мы сможем с достаточно высокой степенью точности, применив следующую функцию:
{ Функция вычисления второй производной }
Function
derivat2(x0, eps : real) : real;
var
dx, dy, dy3 : real;
begin
dx := 1;
repeat
dx := dx/2;
dy := fx(x0 + dx) - 2*fx(x0) + fx(x0 - dx);
dy3 := fx(5*x0/4 + 2*dx) - 2*fx(5*x0/4 + dx);
dy3 := dy3 - fx(5*x0/4 - 2*dx) + 2*fx(5*x0/4 - dx)
until abs(dy3/(6*dx)) < eps;
derivat2 := dy/(dx*dx)
end;
Осталось выяснить, в какой точке промежутка интегрирования [a, b] находить значение этой производной. Остаточный член не требует строго определенного значения аргумента из этого промежутка, поэтому можно выбрать любое значение, не выходящее за пределы интервала [a, b]. Сразу возникает мысль вычислить вторую производную в середине промежутка, т.е. в точке (a + b)/2. Но представьте себе ситуацию, когда промежуток [-1, 1] или [-6.28; 6.28], тогда середина этого отрезка - точка 0 и значение производной будет равно нулю, а значит для числа точек деления n может быть установлено значение любое, даже 1, что, конечно, не даст требуемой точности вычисления интеграла.
Итак, следующая проблема, в какой точке промежутка находить значение производной?
Можно найти наибольшее значение производной на промежутке интегрирования [a, b]. Это можно сделать с помощью процедуры:
{ Определение наибольшего значения второй производной }
Procedure Maximum(a, b, eps : real; var
max : real);
var
dx, x : real;
begin
dx := 0.1; x := a;
max := abs(derivat2(x, eps));
while x<= b do
