Паскаль. Основы программирования


           

Тогда криволинейная трапеция заменится фигурой,


   end.

3.2. Формула  трапеций

 



Рис. 49

Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (xi, yi), где yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, ..., n-1). Тогда криволинейная трапеция заменится фигурой, состоящей из трапеций (см. рис. 49). Будем по-прежнему считать, что промежуток [a, b] разбит на равные части, тогда площади этих трапеций будут равны:



Складывая полученные значения, приходим к приближенной формуле:



Эта приближенная формула называется формулой трапеций.

Оценка погрешности формулы трапеций определяется по следующему дополнительному члену:

     
 

Задание 4

Составьте процедуры вычисления интеграла по формуле трапеций и процедуру определения числа точек деления.

Составьте полностью программу и вычислите интегралы следующих функций на указанных промежутках с заданной точностью:

1) f(x) = 1/x                на [1; 2] с точностью до 0.001;

2) f(x) = x/(x2

+ 1)2       на [-1; 2] с точностью до 0.01;

3) f(x) = 1/cos2 x        на [0; Pi/3] с точностью до 0.0000001.

3.3. Параболическое  интерполирование. Дробление  промежутка  интегрирования. Формула Симпсона

Параболическое интерполирование

Для приближенного вычисления интеграла функции
 на промежутке
 можно заменить функцию f(x) многочленом



и тогда будет выполняться приближенное равенство


Такая замена тем более важна, когда подынтегральная функция представляет собой выражение, интеграл которой точно вычислить нельзя.

Геометрически это можно представить так, что криволинейная трапеция, находящаяся под кривой y = f(x) заменяется "параболой k-го порядка", поэтому такой процесс получил название параболическое интерполирование.

Существует много интерполяционных многочленов, о некоторых из них мы будем говорить на других занятиях, а на этом познакомимся с интерполяционным многочленом Лагранжа, который строится по следующей формуле:





При интегрировании получается линейное относительно значений
 выражение, коэффициенты которого от этих значений не зависят. Вычислив коэффициенты, можно ими пользоваться для любой функции f(x) в заданном промежутке [a, b].


Содержание  Назад  Вперед