Паскаль. Основы программирования


           

Геометрически это означает, что криволинейная


При k = 0, функция f(x) просто заменяется постоянной f(c0), где c0 - любая точка из промежутка [a, b], например средняя: c0 = (a + b)/2. Тогда приближенно

 

Геометрически это означает, что криволинейная фигура под кривой y = f(x) заменяется прямоугольником с высотой, равной средней ординате.

При k = 1 функция f(x) заменяется линейной функцией P1(x), которая имеет одинаковые с ней значения при x = c0 и x = c1. Если взять c0

= a, c1 = b, то



после преобразования, получим



Таким образом, здесь мы приближенно допускаем



Геометрически это будет представляться, как замена криволинейной фигуры трапецией: вместо кривой берется хорда, соединяющая ее концы.

Более интересный результат получается, если взять k = 2. Можно положить c0= a, c1 = (a + b)/2, c2 = b, тогда интерполяционный многочлен P2(x), будет иметь вид





После преобразований и интегрирования многочлена P2(x), приходим к приближенной формуле

                      
                  (7)

В этом случае, площадь фигуры под кривой заменяется площадью фигуры, ограниченной параболой (с вертикальной осью), проходящей через крайние и среднюю точки кривой.

Увеличивая степень k интерполяционного многочлена, т.е. проводя параболу через все большее число точек данной кривой, можно добиться большей точности. Но на практике часто используют другой способ, основанный на сочетании параболического интерполирования с идеей дробления промежутка.

3.4. Дробление промежутка интегрирования

Для вычисления интеграла 
  можно поступить таким способом. Разобьем сначала промежуток [a, b] на некоторое число, n, равных промежутков

 [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]   (x0 = a, xn = b),

искомый интеграл представится в виде суммы



После этого, к каждому из этих промежутков применим параболическое интерполирование, т.е. станем вычислять перечисленные интегралы по одной из приближенных формул: прямоугольников, трапеций или по параболической формуле (7).

В первых двух случаях мы получим уже известные формулы прямоугольников и трапеций.


Содержание  Назад  Вперед