Паскаль. Основы программирования


           

к каждому из интегралов, при


Применим теперь формулу (7) к каждому из интегралов, при этом положим, что

 
 


Получим





................................................



Складывая почленно эти равенства, получим формулу:

    (8)

Эта формула называется формулой Симпсона. Ею пользуются для приближенного вычисления интегралов чаще, чем формулами прямоугольников и трапеций, так как она дает более точный результат.

Составим процедуру на языке Паскаль реализующую эту формулу.

{ Вычисление интеграла по формуле Симпсона }

   Procedure Simpson(a, b : real; n : integer; var j : real);

      var

        dx, c, c1, f : real;

        i                : integer;

      begin

        dx := (b - a)/n;

        c  := a;

        c1 := a + dx/2;

        f  := fx(a) + fx(b) + 4*fx(c1);

        for i := 1 to n - 1 do

          begin

            c := c + dx; c1 := c1 + dx;

            f := f + 2*fx(c) + 4*fx(c1)

          end;

        j := (dx/6)* f

      end;

Остается выяснить вопрос о числе точек деления в зависимости от заданной точности вычисления, другими словами, установить погрешность вычисления.

Если промежуток [a, b] разделен на n равных частей, то для формулы Симпсона дополнительный член имеет вид

 


Значит оценить точность вычисления можно по модулю этого дополнительного члена: |Rn|.

Однако, это связано с неприятностью находить 4-ю производную функции, что достаточно нелегкое дело. Есть и другой путь оценки точности вычисления интегралов и не только по формуле Симпсона, но и по формуле прямоугольника и трапеций.

Этот прием заключается в следующем. Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка [a, b] на n частей и на 2n частей. Полученные значения интегралов In

и I2n сравниваются и первые совпадающие десятичные знаки считаются верными.

Покажем, как, используя такой метод оценить точность интеграла, вычисленного по формуле Симпсона.

Преобразуем дополнительный член Rn формулы Симпсона:

 где h = (b - a)/2n.

Пусть Rn

и R2n - погрешности интегрирования, тогда, учитывая предыдущую формулу можно составить пропорцию:


Содержание  Назад  Вперед